Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Доказательство признака делимости на 3
Представим исходное число в виде суммы разрядных слагаемых 
. Степень числа 10 может быть представлена в виде 
. Соответственно, каждое разрядное слагаемое, кроме 
можно представить в виде 
. Т.е. исходное число можно представить в виде суммы двух чисел 
, первое из которых делится на 9, а значит и на 3, а второе является суммой цифр исходного числа. Соответственно, если сумма цифр делится на 3, то исходное число можно представить в виде произведения двух чисел, одно из которых 3. Таким образом исходное число делится на 3 по определению делимости.